Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými
V této kapitole si ukážeme, co jsou to dvě lineární rovnice o dvou neznámých.
Dočtete se v ní také jaké jsou možné výsledky dvou lineárních rovnic o dvou neznámých.
Jak se řeší. Na co si dát při řešení pozor.
Základní tvar soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých je:
a1x + b1y + c1 = 0
a2x + b2y + c2 = 0
a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2 jsou reálná čísla
Hledané řešení soustavy dvou lineárních rovnic s dvěma neznámými je dvojice kořenů, která vyhovuje oběma rovnicím.
Hledání dvojic kořenů:
Početně:
-
Sčítací metoda
- Příklad
- Po jednoduché úpravě
- Oba výrazy se rovnají nule, proto se budou rovnat samy sobě.
- Vznikla nám lineární rovnice o dvou neznámých. Naším cílem je však řešení lineární rovnice s jednou neznámou, a proto se vrátíme zpět a zkusíme to ještě jednou.
- Příklad nám zůstane stejný
- Nyní však upravíme první rovnici tak, že ji vynásobíme dvěma.
- Opět sestavíme rovnici.
- Nyní nám vznikla lineární rovnice, tak ji vyřešíme.
- Tím jsme získali první kořen soustavy b. Ten dosadíme do první rovnice a dopočteme kořen a.
- Provedeme zkoušku, kořeny musí odpovídat oběma rovnicím.
- Zapíšeme výsledek.
Trochu jiný zápis téhož:
-
Vhodné vynásobení první rovnice.
- Sečteme rovnice pod sebou a vypočteme b.
- Dosadíme b do první rovnice. Dopočítáme a.
- Výsledek a zkouška je stejná jako v předchozím případě.
- Příklad
-
Dosazovací metoda
- Příklad
- Z první rovnice si vyjádříme neznámou a.
- Dosadíme do druhé rovnice a dopočteme b.
- Dosadíme b do první rovnice a dopočteme a.
- Zkoušku jsme již dělali v předchozím příkladu.
- Výsledek je a = 10; b = -3.
- Příklad
Graficky:
Řešte soustavu rovnic.
- Vyneseme přímky dané rovnicemi do jednoho grafu.
- Výsledkem jsou společné průsečíky těchto přímek.
Výsledek je bod A = [10; -3].
Možná řešení:
- Soustavě vyhovuje právě jedna uspořádaná dvojice kořenů.
Příklad:
Graf:
Výsledkem je bod - Soustavě nevyhovuje žádná uspořádaná dvojice kořenů.
Příklad:
Graf:
Výsledkem je prázdná množina. - Soustavě vyhovuje každá dvojice, která vyhovuje jedné rovnici, vyhovuje i druhé.
Příklad:
Poznámka: Rovnice po správné úpravě jsou stejné.
Graf:
Výsledkem je zde přímka p (p = q).
Vzorové řešení soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými:
Řešte soustavu rovnic
- Vhodným vynásobením rovnic odstraníme zlomky.
- Převedeme neznámé na jednu a konstanty na druhou stranu.
- Aplikujeme sčítací metodu
- Vyřešíme lineární rovnici pro y.
- Dosadíme y do rovnice před použitím sčítací metody.
- Vyřešíme lineární rovnici pro x.
- Provedeme zkoušku.
- Zapíšeme výsledek.
Grafické řešení:
- Vyneseme první přímku.
- Vyneseme druhou přímku.
- Provedeme zkoušku.
- Zapíšeme výsledek.
Řešené příklady
Řešte soustavy rovnic:
a)
b)
c)
Řešte graficky soustavu rovnic:
a)
b)
c)
Řešte soustavu rovnic a proveďte zkoušku.
a)
b)
c)