Soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými

V této kapitole si ukážeme, co jsou to dvě lineární rovnice o dvou neznámých.
Dočtete se v ní také jaké jsou možné výsledky dvou lineárních rovnic o dvou neznámých.
Jak se řeší. Na co si dát při řešení pozor.

Základní tvar soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých je:
a1x + b1y + c1 = 0
a2x +
b2y + c2 = 0
a1 , b1 , c1 , a2 , b2 , c2   jsou reálná čísla

 

Hledané řešení soustavy dvou lineárních rovnic s dvěma neznámými je dvojice kořenů, která vyhovuje oběma rovnicím.

 Hledání dvojic kořenů:

Početně:

  1. Sčítací metoda

    1. Příklad
    2. Po jednoduché úpravě
    3. Oba výrazy se rovnají nule, proto se budou rovnat samy sobě.
    4. Vznikla nám lineární rovnice o dvou neznámých. Naším cílem je však řešení lineární rovnice s jednou neznámou, a proto se vrátíme zpět a zkusíme to ještě jednou.


    1. Příklad nám zůstane stejný
    2. Nyní však upravíme první rovnici tak, že ji vynásobíme dvěma.
    3. Opět sestavíme rovnici.
    4. Nyní nám vznikla lineární rovnice, tak ji vyřešíme.
    5. Tím jsme získali první kořen soustavy b. Ten dosadíme do první rovnice a dopočteme kořen a.
    6. Provedeme zkoušku, kořeny musí odpovídat oběma rovnicím.
    7. Zapíšeme výsledek.

    Trochu jiný zápis téhož:

    1. Vhodné vynásobení první rovnice.


    2. Sečteme rovnice pod sebou a vypočteme b.



    3. Dosadíme b do první rovnice. Dopočítáme a.



    4. Výsledek a zkouška je stejná jako v předchozím případě.
  2. Dosazovací metoda

      1. Příklad
      2. Z první rovnice si vyjádříme neznámou a.
      3. Dosadíme do druhé rovnice a dopočteme b.
      4. Dosadíme b do první rovnice a dopočteme a.
      5. Zkoušku jsme již dělali v předchozím příkladu.
      6. Výsledek je a = 10; b = -3.
     

Graficky:

Řešte soustavu rovnic.

  1. Vyneseme přímky dané rovnicemi do jednoho grafu.
  2. Výsledkem jsou společné průsečíky těchto přímek.
     
                Výsledek je bod A = [10; -3].

 

Možná řešení:

  1. Soustavě vyhovuje právě jedna uspořádaná dvojice kořenů.
    Příklad:

    Graf:


    Výsledkem je bod
  2. Soustavě nevyhovuje žádná uspořádaná dvojice kořenů.
    Příklad:

    Graf:



    Výsledkem je prázdná množina.

  3. Soustavě vyhovuje každá dvojice, která vyhovuje jedné rovnici, vyhovuje i druhé.
    Příklad:

    Poznámka: Rovnice po správné úpravě jsou stejné.
    Graf:


    Výsledkem je zde přímka p (p = q).

 

Vzorové řešení soustavy dvou lineárních rovnic se dvěma neznámými:

Řešte soustavu rovnic  

                               

  1. Vhodným vynásobením rovnic odstraníme zlomky.


  2. Převedeme neznámé na jednu a konstanty na druhou stranu.
  3. Aplikujeme sčítací metodu
  4. Vyřešíme lineární rovnici pro y.
  5. Dosadíme y do rovnice před použitím sčítací metody.
  6. Vyřešíme lineární rovnici pro x.
  7. Provedeme zkoušku.

  8. Zapíšeme výsledek.



Grafické řešení:

  1. Vyneseme první přímku.
  2. Vyneseme druhou přímku.
  3. Provedeme zkoušku.
  4. Zapíšeme výsledek.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Řešené příklady

Řešte soustavy rovnic:

 a)  

b)

c)  

Řešte graficky soustavu rovnic:

 a)    

b)   

c)    

 

Řešte soustavu rovnic a proveďte zkoušku.

 a)     

b)     

c)