*Kvadratické rovnice

V této kapitole si ukážeme, jak vypadají kvadratické rovnice a jakých možných výsledků nabývají.
Také se podíváme, jak se kvadratické rovnice řeší.
Na závěr si můžete prohlédnout několik řešených příkladů.


Definice:
Nechť a, b, c jsou reálná čísla, kde a není rovno nule. Potom rovnici tvaru
ax2 + bx + c = 0 nazveme kvadratickou rovnicí s neznámou x.

  • ax2 se nazývá kvadratický člen
  • bx se nazývá lineární člen
  • c se nazývá absolutní člen

Neúplné tvary kvadratických rovnic

Tvar  ax2 + bx  = 0 se nazývá kvadratická rovnice bez absolutního členu.

Postup řešení:

Z tvaru kvadratické rovnice bez absolutního členu ax2 + bx = 0 pomocí vytýkání vytvoříme tvar x (ax + b) = 0.
Odsud už můžeme výsledné kořeny snadno vyčíst ; (ax2 + b) = 0 dává po jednoduché úpravě .

Řešený příklad:

Procvičování:

a)

b)


Tvar  ax2 + c  = 0 se nazývá ryze kvadratická rovnice.

Postup při řešení:

Nejprve upravíme pomocí ekvivalentních úprav tvar ryze kvadratické rovnice ax2 + c = 0 kde c ≠ 0.


Nesmíme zapomenout na to, že (-2)2 = 4 tak jako 22 = 4, a proto jsou výsledky dva, a to:

Možné výsledky v množině reálných čísel:

  1. Ryze kvadratická rovnice ax2 + c = 0 kde c ≠ 0 nemá řešení, když .
    Protože pak výraz nemá v R řešení, tedy ani ryze kvadratická rovnice ho mít nemůže.
  2. Ve všech ostatních případech má ryze kvadratická rovnice právě dva kořeny.

Řešený příklad:

Řešte kvadratickou rovniciv oboru reálných čísel.

Procvičování:

a)

b)

Úplný tvar kvadratické rovnice

Velmi jednoduché kvadratycké rovnice můžeme řešit pomocí rozkladu na součin.

Tuto metodu používáme u rovnic (ax2 + bx + c = 0) u nichž je hodnota a = 1 a b i c jsou celočíselná a relativně malá.

Při rozkladu na součin se snažíme kvadratickou rovnici x2 + bx + c = 0  převést na tvar (x - m)(x - n) = 0.
Čísla m a n nalezneme pomocí dvou pravidel (Vietových vzorců):

  1. -b = m + n 
  2. c = m * n.

Dále už řešíme jednoduchou rovnici (x - m)(x - n) = 0.
Nejlépe je ukázat si metodu přímo na příkladu:

Řešte kvadratickou rovnici x2 - x - 2 = 0, x ∈ R.

Nejprve použijeme druhé pravidlo, které říká -2 = m * n. Je zřejmé že -2 = -1 * 2 nebo 1 * (-2).
Po dosazení těchto dvou možností do prvního pravidla (-1 = m + n) je platná jen rovnost -1 = 1 + (-2).
Tedy m = 1 a n = -2.
Nyní stačí jen dosadit do výrazu
(x - m)(x - n) = 0.
(x - 1)(x - (-2)) = (x - 1)(x + 2) = 0
Dále řešíme rovnici (x - 1)(x + 2) = 0

(x1 - 1) = 0                                                    (x2 + 2) = 0
      
x1 = 1                                                            x = -2

Na závěr si jen povšimněte rovnosti: m = x1 a n = x2 .

Pár příkladů k procvičení.

Rozložte na součin výrazy:

a) x2 - x - 6

b) x2 - 2x - 8

c) x2 + 2x - 3

 


Při řešení složitějších rovnic využíváme diskriminant kvadratické rovnice. Jedná se o vzorec D = b2 - 4ac.

Příklad: Spočítejte diskriminant rovnice:

a) x 2 - x - 6 = 0

b) x 2 - 2x + 8 = 0

c) 2x 2 + 6x - 3 = 0

Pokud jste si pocvičili hledání diskriminantu kvdratické rovnice. Neměly by jste mít problém s určením řešení kvadratické rovnice z výrazu pro výpočet, krterý má tvar.

Možná řešení v množině reálných čísel:

Řešení odvozujeme od hodnoty diskriminantu.

  1. Kvadratické rovnici vyhovuje jeden dvojnásobný kořen, pokud je D = 0.
  2. Kvadratické rovnici vyhovují právě dva kořeny, pokud je D > 0.
  3. Kvadratická rovnice nemá řešení, pokud je D < 0.

 Vzorové řešení kvadratické rovnice

Řešte rovnici .

  1. Upravíme výrazy na obou stranách rovnice podle vzorečků (A ± B)2 = A2 ± 2AB + B2 a posčítáme.
  2. Pomocí ekvivalentních úprav změníme pravou stranu na nulovou.
  3. Vypočítáme diskriminant.
  4. Podle hodnoty diskriminantu zjistíme, kolik má úloha řešení. V tomto příkladu je diskriminant kladný.
    Hledáme tedy dva kořeny tak, že dosadíme do vzorce.
  5. Nyní už stačí jen dopočítat.
  6. Zapíšeme výsledek.

Řešené příklady

Vyřešte rovnice pro x ∈ R.

a)

b)

c)

d)