*Kvadratické rovnice
V této kapitole si ukážeme, jak vypadají kvadratické rovnice a jakých možných výsledků nabývají.
Také se podíváme, jak se kvadratické rovnice řeší.
Na závěr si můžete prohlédnout několik řešených příkladů.
Definice:
Nechť a, b, c jsou reálná čísla, kde a není rovno nule. Potom rovnici tvaru ax2 + bx + c = 0 nazveme kvadratickou rovnicí s neznámou x.
- ax2 se nazývá kvadratický člen
- bx se nazývá lineární člen
- c se nazývá absolutní člen
Neúplné tvary kvadratických rovnic
Tvar ax2 + bx = 0 se nazývá kvadratická rovnice bez absolutního členu.
Postup řešení:
Z tvaru kvadratické rovnice bez absolutního členu ax2 + bx = 0 pomocí vytýkání vytvoříme tvar x (ax + b) = 0.
Odsud už můžeme výsledné kořeny snadno vyčíst ; (ax2 + b) = 0 dává po jednoduché úpravě .
Řešený příklad:
Procvičování:
a)
b)
Tvar ax2 + c = 0 se nazývá ryze kvadratická rovnice.
Postup při řešení:
Nejprve upravíme pomocí ekvivalentních úprav tvar ryze kvadratické rovnice ax2 + c = 0 kde c ≠ 0.
Nesmíme zapomenout na to, že (-2)2 = 4 tak jako 22 = 4, a proto jsou výsledky dva, a to:
Možné výsledky v množině reálných čísel:
- Ryze kvadratická rovnice ax2 + c = 0 kde c ≠ 0 nemá řešení, když .
Protože pak výraz nemá v R řešení, tedy ani ryze kvadratická rovnice ho mít nemůže. - Ve všech ostatních případech má ryze kvadratická rovnice právě dva kořeny.
Řešený příklad:
Řešte kvadratickou rovniciv oboru reálných čísel.
Procvičování:
a)
b)
Úplný tvar kvadratické rovnice
Velmi jednoduché kvadratycké rovnice můžeme řešit pomocí rozkladu na součin.
Tuto metodu používáme u rovnic (ax2 + bx + c = 0) u nichž je hodnota a = 1 a b i c jsou celočíselná a relativně malá.
Při rozkladu na součin se snažíme kvadratickou rovnici x2 + bx + c = 0 převést na tvar (x - m)(x - n) = 0.
Čísla m a n nalezneme pomocí dvou pravidel (Vietových vzorců):
- -b = m + n
- c = m * n.
Dále už řešíme jednoduchou rovnici (x - m)(x - n) = 0.
Nejlépe je ukázat si metodu přímo na příkladu:
Řešte kvadratickou rovnici x2 - x - 2 = 0, x ∈ R.
Nejprve použijeme druhé pravidlo, které říká -2 = m * n. Je zřejmé že -2 = -1 * 2 nebo 1 * (-2).
Po dosazení těchto dvou možností do prvního pravidla (-1 = m + n) je platná jen rovnost -1 = 1 + (-2).
Tedy m = 1 a n = -2.
Nyní stačí jen dosadit do výrazu (x - m)(x - n) = 0.
(x - 1)(x - (-2)) = (x - 1)(x + 2) = 0
Dále řešíme rovnici (x - 1)(x + 2) = 0
(x1 - 1) = 0 (x2 + 2) = 0
x1 = 1 x2 = -2
Na závěr si jen povšimněte rovnosti: m = x1 a n = x2 .
Pár příkladů k procvičení.
Rozložte na součin výrazy:
a) x2 - x - 6
b) x2 - 2x - 8
c) x2 + 2x - 3
Při řešení složitějších rovnic využíváme diskriminant kvadratické rovnice. Jedná se o vzorec D = b2 - 4ac.
Příklad: Spočítejte diskriminant rovnice:
a) x 2 - x - 6 = 0
b) x 2 - 2x + 8 = 0
c) 2x 2 + 6x - 3 = 0
Pokud jste si pocvičili hledání diskriminantu kvdratické rovnice. Neměly by jste mít problém s určením řešení kvadratické rovnice z výrazu pro výpočet, krterý má tvar.
Možná řešení v množině reálných čísel:
Řešení odvozujeme od hodnoty diskriminantu.
- Kvadratické rovnici vyhovuje jeden dvojnásobný kořen, pokud je D = 0.
- Kvadratické rovnici vyhovují právě dva kořeny, pokud je D > 0.
- Kvadratická rovnice nemá řešení, pokud je D < 0.
Vzorové řešení kvadratické rovnice
Řešte rovnici .
- Upravíme výrazy na obou stranách rovnice podle vzorečků (A ± B)2 = A2 ± 2AB + B2 a posčítáme.
- Pomocí ekvivalentních úprav změníme pravou stranu na nulovou.
- Vypočítáme diskriminant.
- Podle hodnoty diskriminantu zjistíme, kolik má úloha řešení. V tomto příkladu je diskriminant kladný.
Hledáme tedy dva kořeny tak, že dosadíme do vzorce. - Nyní už stačí jen dopočítat.
- Zapíšeme výsledek.
Řešené příklady
Vyřešte rovnice pro x ∈ R.
a)
b)
c)
d)